交换环的零化理想图 II

在本文中，我们继续研究交换环的零化理想图，该图已在第一部分（见[5]）中引入。设 $R$ 是一个交换环，${\Bbb{A}}(R)$ 是其具有非零零化子的理想集，$Z(R)$ 是其零因子集。$R$ 的零化理想图定义为（无向）图 ${\Bbb{AG}}(R)$，其顶点为 $\Bbb{A}(R)^* =\Bbb{A}(R)\hspace{-1mm}\setminus\{(0)\}$，其中对于任意两个不同顶点 $I$ 和 $J$，$I\hspace{-0.6mm}-\hspace{-1.7mm}-\hspace{-1.7mm}-\hspace{-0.5mm}J$ 是一条边当且仅当 $IJ=(0)$。首先，我们研究 ${\Bbb{AG}}(R)$ 的直径。当 $R$ 是诺特环或 $Z(R)$ 不是 $R$ 的理想时，我们完全用 $R$ 的理想给出了可能直径的一个完整刻画。接下来，我们研究零化理想图的着色。在其他结果中，我们刻画了 $\chi({\Bbb{AG}}(R))\leq 2$ 或 $R$ 是约化环且 $\chi({\Bbb{AG}}(R))\leq \infty$ 的情形。还证明了对于每个约化环 $R$，$\chi(\Bbb{AG}(R))= cl(\Bbb{AG}(R))$。此外，如果 $\chi(\Bbb{AG}(R))$ 是有限的，则 $R$ 有有限个极小素理想，且若 $n$ 是这个数，则 $\chi(\Bbb{AG}(R))= cl(\Bbb{AG}(R))= n$。最后，我们证明对于诺特环 $R$，$cl(\Bbb{AG}(R))$ 是有限的当且仅当对于 $R$ 的每个满足 $I^2=(0)$ 的理想 $I$，$I$ 有有限个 $R$-子模。