主理想环上矩阵的相似性与换位子

我们证明：如果$R$是一个主理想环，且$A\in\M_n(R)$是一个迹为零的矩阵，则$A$是一个换位子，即存在$X,Y\in\M_n(R)$使得$A=XY-YX$。这推广了Albert和Muckenhoupt关于域上的相应结果，以及Laffey和Reams关于$\mathbb{Z}$上的结果，并且作为副产品，我们得到了这些结果的新简化证明。我们还建立了主理想整环上矩阵相似类的标准型，推广了Laffey和Reams的一个结果。该标准型是证明换位子结果的主要成分。