关于生成矩阵环的矩阵对及其表示

令 $M_n(\mathbb{Z})$ 为元素为整数的 $n$ 阶矩阵环,且 $n \geq 2$。本文研究 $M_n(\mathbb{Z})$ 中作为环生成 $M_n(\mathbb{Z})$ 的矩阵对 $(A,B) \in M_n(\mathbb{Z})^2$ 的集合 $G_n(\mathbb{Z})$。我们利用 $M_{n}(\mathbb{Z})$ 以生成元 $X=\sum_{i=1}^n E_{i+1,i}$ 与 $Y=E_{11}$ 的几种表示得到如下结论。\begin{enumerate} \item 令 $k \geq 1$。则环 $M_n(\mathbb{Q})^k$ 与 $\bigoplus_{j=1}^{k} M_{n_j} (\mathbb{Z})$(其中 $n_1, ..., n_k \geq 2$ 两两互素)具有含 2 个生成元与有限个关系的表示。\item 令 $D$ 为充分大特征的交换整环,且其上每个有限生成投射模均自由。我们用 $X$ 与 $Y$ 的 4 个关系来描述环 $M_{n}(D)$ 到 $M_{m}(D)$(其中 $m \geq n$)的所有表示。\item 我们得到了在不同域上以及整数上 $G_n(F)$ 在 $M_n(F)^2$ 中渐近密度的相关信息。\end{enumerate}