几乎确定非交换行列式的难度
计算复杂性
2018-10-09 v1
摘要
本文研究了在非交换代数上计算矩阵行列式的复杂性。特别地，我们提出了一个问题：“在哪些代数上，行列式比积和式更容易计算？”为解决此问题，我们展示了非交换行列式计算的下述困难性和简易性。* [困难性] 计算一个n×n矩阵的行列式，其元素本身是域上的2×2矩阵，其难度与计算该域上的积和式相当。这扩展了Arvind和Srinivasan的最新结果，他们证明了类似结果，但要求元素具有线性维度。* [简易性] 计算一个n×n矩阵的行列式，其元素本身是d×d上三角矩阵，可以在poly(n^d)时间内完成。结合上述结果与有限维代数的分解定理（特别是利用2×2矩阵代数的简单结构），我们可以将上述困难性和简易性陈述推广到更一般的代数如下。设A是有限域上的有限维代数，其根为R(A)。* [困难性] 如果商代数A/R(A)是非交换的，那么在代数A上计算行列式与计算积和式一样困难。* [简易性] 如果商代数A/R(A)是交换的，并且进一步地，R(A)的幂零指数为d（即满足R(A)^d = 0的最小d），那么存在一个poly(n^d)时间的算法来计算代数A上的行列式。特别地，对于有限域上的任意常维代数A，由于R(A)的幂零指数至多为常数，我们有以下二分法定理：如果A/R(A)是交换的，则行列式的高效计算是可行的；否则，行列式与积和式一样困难。
引用
@article{arxiv.1101.1169,
title = {Almost Settling the Hardness of Noncommutative Determinant},
author = {Steve Chien and Prahladh Harsha and Alistair Sinclair and Srikanth Srinivasan},
journal= {arXiv preprint arXiv:1101.1169},
year = {2018}
}
备注
20 pages, 3 figures