论非交换行列式的难度
计算复杂性
2009-10-26 v2 数据结构与算法
摘要
在本文中，我们研究了计算非交换行列式的计算复杂性。我们首先考虑计算非交换行列式多项式的算术电路复杂度。然后，更一般地，我们还研究了在非交换域上计算行列式（作为函数）的复杂度。我们的难度结果总结如下：1. 我们证明，如果非交换行列式多项式具有小的非交换算术电路，那么非交换积和式也具有小的非交换算术电路。因此，交换积和式多项式具有小的交换算术电路。2. 对于任何域F，我们证明在F上计算n×n积和式可以多项式时间归约为计算2n×2n（非交换）行列式，其条目是域F上的O(n^2)×O(n^2)矩阵。3. 我们还推导出一个推论：在非负有理数上计算n×n积和式可以多项式时间归约为在n^{O(1)}维的Clifford代数上计算非交换行列式。我们的技术是初等的，主要使用非交换多项式的Hadamard积的概念。
引用
@article{arxiv.0910.2370,
title = {On the hardness of the noncommutative determinant},
author = {V. Arvind and Srikanth Srinivasan},
journal= {arXiv preprint arXiv:0910.2370},
year = {2009}
}
备注
11 pages, v2: 18 pages, some typos removed, new section added on Clifford algebras, and some reorganization