分段离散时间动力系统分析中的非交换性

本文提出一种分析分段动力系统的新方法，该方法就其次函数换位子的某些性质而言类似于Collatz猜想。我们利用多项式$E(n)=n/2$与$O(n)=(3n+1)/2$的换位子为常数的事实来研究$E(n)$与$O(n)$复合的重排。我们的主要结果是：对于任意正有理数$n$，若$(E^{e_1} \circ O^{o_1} \circ E^{e_2} \circ \dotsb \circ O^{o_l} \circ E^{e_{l+1}})(n)=1$，则$(E^{e_1} \circ O^{o_1} \circ E^{e_2} \circ \dotsb \circ O^{o_l} \circ E^{e_{l+1}})(n) = \lceil(E^{e_1 + \dotsb + e_{l+1}} \circ O^{o_1 + \dotsb + o_{l}})(n)\rceil$，其中指数表示重复复合，$e_i$与$o_i$为正整数。此类复合序列在Collatz猜想的背景下具有重要意义。推导该结果所用技术可用于对多种反复复合的分段函数产生类似结果。