Collatz猜想与非阿基米德谱理论：第一部分——算术动力系统与非阿基米德值分布理论

设$q$为奇素数，令$T_{q}:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$为缩短的$qx+1$映射，定义为当$n$为偶数时$T_{q}\left(n\right)=n/2$，当$n$为奇数时$T_{q}\left(n\right)=\left(qn+1\right)/2$。研究这些映射的动力学因其困难而臭名昭著，其中对$T_{3}$动力学的刻画是著名Collatz猜想的一种等价表述。本系列论文提出了一种通过被我们称为$\left(p,q\right)$-adic分析（即从$p$-进数到$q$-进数的函数研究，其中$p$和$q$为不同素数）的 ultrametric 分析中一个被忽视的领域来研究此类算术动力系统的新范式。在本文（第一篇）中，以$T_{q}$映射作为更一般理论的玩具模型，对每个奇素数$q$，我们构造一个函数$\chi_{q}:\mathbb{Z}_{2}\rightarrow\mathbb{Z}_{q}$（$T_{q}$的Numen）并证明对应原理（CP）：$x\in\mathbb{Z}\backslash\left\{ 0\right\}$是$T_{q}$的周期点当且仅当存在$\mathfrak{z}\in\mathbb{Z}_{2}\backslash\left\{ 0,1,2,\ldots\right\}$使得$\chi_{q}\left(\mathfrak{z}\right)=x$。此外，若$\mathfrak{z}\in\mathbb{Z}_{2}\backslash\mathbb{Q}$使得$\chi_{q}\left(\mathfrak{z}\right)\in\mathbb{Z}$，则$\chi_{q}\left(\mathfrak{z}\right)$在$T_{q}$下的迭代趋于$+\infty$或$-\infty$。