Collatz 映射中通向周期三轨道的结构
混沌动力学
2026-02-06 v2
摘要
本研究通过非线性动力学分析 Collatz 映射。通过将整数嵌入 Sharkovsky 排序，我们证明奇数初始值足以实现完整的动力学刻画。我们引入「方向相位」将迭代划分为上升相位和下降相位，并推导出以上升相位计数为参数的递归函数族。由此揭示了迭代步数与初始值之间的对数标度律，展示了有限时间收敛到周期三轨道。此外，我们建立了 Collatz 映射与二进制移位映射的等价性，其遍历性保证了向吸引子的通用收敛，为收敛性提供了额外支持。进一步地，我们发现吸引盆服从幂律分布，并发现按上升相位分类的奇数服从 Gamma 统计分布。这些结果为离散系统的动力学及其与数论的联系提供了有价值的见解。
引用
@article{arxiv.2412.08097,
title = {The Structure of the Route to the Period-three Orbit in the Collatz Map},
author = {Weicheng Fu and Yisen Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2412.08097},
year = {2026}
}
备注
8pages, 10 figures, 1 table