Koopman 算子与 $3x+1$ 动力系统

$3x+1$ 问题（或称 Collatz 问题）是算术中一个臭名昭著的猜想。它可被视为对一个映射的迭代，因此它是自然数离散空间 $\mathbb{N}$ 上的一个动力系统。本文利用 Koopman 算子与 $C^*$-代数的理论方法研究这一涌现的动力系统。该方法使我们能将 $3x+1$ 动力系统从状态空间（即集合 $\mathbb{N}$）“提升”到定义在状态空间上的函数空间，即序列空间。这种提升的优势在于，Collatz 问题可通过有界线性算子来描述，而后者是分析中一个被广泛研究的领域。我们研究这些算子的性质及其与 $3x+1$ 问题的关系。此外，我们利用傅里叶变换技术来研究由 Collatz 映射轨迹产生的符号序列的频率内容。这使我们能在 Hilbert 空间上定义一个等距映射。最后，我们利用该等距映射生成的 $C^*$-代数来研究符号序列之间的相互关联。