具有集中残差的随机整数矩阵之多项式前推的余核

我们证明了关于具有集中残差的随机整数矩阵余核分布的新统计结果。给定素数 $p$ 和正整数 $n$，考虑环 $\mathbb{Z}_p$（$p$-进整数环）上的随机 $n \times n$ 矩阵 $X_n$，其元素独立。此前，Wood 证明无论 $X_n$ 的分布如何，只要 $X_n$ 的每个元素不过于集中在模 $p$ 的单一剩余类上，则余核 $\mathrm{cok}(X_n)$ 的分布（同构意义下）在 $n \rightarrow \infty$ 时弱收敛于 Cohen--Lenstra 分布。本文考虑 $X_n$ 具有集中残差 $A_n$ 使得 $X_n = A_n + pB_n$ 的情形，其中 $B_n$ 为 $\mathbb{Z}_p$ 上的随机 $n \times n$ 矩阵。我们证明对每个固定的 $n$ 和非恒定首一多项式 $P(t) \in \mathbb{Z}_p[t]$，当 $B_n$ 为 Haar 随机矩阵时，可显式计算 $\mathrm{cok}(P(X_n))$ 的分布。由此我们还证明，对于特定的 $A_n$ 选取，远更广泛的随机矩阵类 $B_n$ 给出相同的 $\mathrm{cok}(P(X_n))$ 分布。对于 Haar 随机 $B_n$，我们将结果推导自 $\mathbb{Z}_p[t]/(P(t))$ 上矩阵的一个有趣等分布结果，该结果通过为 $\mathbb{Z}_p$ 上 $n \times n$ 矩阵的非交换环 $\mathrm{M}_n(\mathbb{Z}_p)$ 建立 Weierstrass 预备定理的一个版本而证明。