具有行列式偏置的稀疏矩阵的 Cohen-Lenstra 分布

考虑如下矩阵 $B_n$。$B_n$ 的列由 $[n]=\{1,2,\dots,n\}$ 索引，行由 $[n]^3$ 索引。对应于 $(x_1,x_2,x_3)\in [n]^3$ 的行由 $\sum_{i=1}^3 e_{x_i}$ 给出，其中 $e_1,e_2,\dots,e_n$ 是 $\mathbb{R}^{[n]}$ 的标准基。令 $A_n$ 为 $B_n$ 的随机 $n\times n$ 子矩阵，其中选择子矩阵 $C$ 的概率正比于 $|\det(C)|^2$。设 $p\ge 5$ 为素数。我们证明 $A_n$ 的余核的 $p$-Sylow 子群的渐近分布由 Cohen-Lenstra 启发式给出。我们的结果受如下猜想的启发：随机二维超树的第一同调群也是 Cohen-Lenstra 分布的。