Wronski 映射在完全非负 Grassmannian 上的零自由区

经典结果表明，如果 $f(z)$ 为次数最多为 $n$ 的系数全为非负的多项式，则 $f(z)$ 在复平面中 $|\arg(z)| < \frac{\pi}{n}$ 的区域内无零点，且界限 $\frac{\pi}{n}$ 为紧致。我们受 Shapiro--Shapiro 猜想及相关实数 Schubert 计算问题的启发，将此结果推广到 Wronskians。具体地，设 $f_1(z), \dots, f_k(z)$ 为次数最多为 $n$ 的线性无关多项式，其系数矩阵的全部 $k \times k$ minors 均为非负（即，这些多项式在 Lusztig 和 Postnikov 的意义上构成完全非负 Grassmannian 的一个元素）。我们证明 Wronskian 多项式 $\operatorname{Wr}(f_1, \dots, f_k)$ 在区域 $|\arg(z)| < \frac{\pi}{n}$（与 $k$ 无关）内无复数零点，且界限 $\frac{\pi}{n}$ 为紧致。我们的证明利用 Gantmakher 和 Krein（1950）以及 Obreschkoff（1923）关于符号变化的经典结果。