Wronskian、全非负性与实 Schubert 演算

$\mathbb{R}^n$ 中的完全旗是一列嵌套子空间 $V_1 \subset \cdots \subset V_{n-1}$，使得每个 $V_k$ 的维数为 $k$。若其所有 Pl"ucker 坐标均非负，则称其为全非负的。通过将 $\mathbb{R}^n$ 中的向量 $(a_1, \dots, a_n)$ 对应于多项式 $a_1 + a_2x + \cdots + a_nx^{n-1}$，我们可以将每个 $V_k$ 视为 $\mathbb{R}[x]$ 中次数至多为 $n-1$ 的多项式子空间。我们证明了一个完全旗是全非负的当且仅当其每个 Wronskian 多项式 $\mathsf{Wr}(V_k)$ 在区间 $(0, \infty)$ 上非零。用 Chebyshev 系统的语言来说，这意味着该旗在 $(0, \infty)$ 上构成一个 Markov 系统或 $ECT$-系统。这给出了全非负旗簇的一个新刻画与成员判定方法。类似地，我们证明了一个完全旗是全正的当且仅当每个 $\mathsf{Wr}(V_k)$ 在 $[0, \infty]$ 上非零。我们利用这些结果证明 Eremenko (2015) 在实 Schubert 演算中的一个猜想等价于如下猜想：若 $V$ 是多项式的有限维子空间，且 $\mathsf{Wr}(V)$ 的所有复零点均位于区间 $(-\infty, 0)$ 内，则 $V$ 的所有 Pl"ucker 坐标均为实且正。该猜想是 Mukhin、Tarasov 和 Varchenko (2009) 一个结果的完全正强化，并可重新表述为：Grassmannian 中某类 Schubert 问题的所有复解均为实且全正。我们还证明我们的猜想等价于 Sottile (2003) 的割线猜想的一个全正版本。