关于部分旗簇的两种全正性概念

给定整数 $1 \le k_1 < \cdots < k_l \le n-1$,令 $\text{Fl}_{k_1,\dots,k_l;n}$ 表示 A 型部分旗簇,由 $\mathbb{R}^n$ 内所有子空间链 $(V_{k_1}\subset\cdots\subset V_{k_l})$ 组成,其中每个 $V_k$ 的维数为 $k$。Lusztig (1994, 1998) 引入全正部分 $\text{Fl}_{k_1,\dots,k_l;n}^{>0}$ 作为可由全正 $n\times n$ 矩阵表示的部分旗的子集,并定义全非负部分 $\text{Fl}_{k_1,\dots,k_l;n}^{\ge 0}$ 为 $\text{Fl}_{k_1,\dots,k_l;n}^{>0}$ 的闭包。另一方面,遵循 Postnikov (2007),我们定义 $\text{Fl}_{k_1,\dots,k_l;n}^{\Delta>0}$ 和 $\text{Fl}_{k_1,\dots,k_l;n}^{\Delta\ge 0}$ 为 $\text{Fl}_{k_1,\dots,k_l;n}$ 中所有 Plücker 坐标分别为正和非负的子集。由定义可知 Lusztig 的全正性蕴含 Plücker 正性,自然要问这两种正性概念何时一致。Rietsch (2009) 证明了它们在 Grassmann 流形 $\text{Fl}_{k;n}$ 的情形下一致,而 Chevalier (2011) 表明这两种概念对 $\text{Fl}_{1,3;4}$ 是相异的。我们证明一般地,这两种概念一致当且仅当 $k_1, \dots, k_l$ 为连续整数。我们基于线性代数与全正性理论的经典结果,给出该结论(包括 Grassmann 流形的情形)的一个初等证明。我们还证明 $\text{Fl}_{k_1,\dots,k_l;n}^{\ge 0}$ 的胞腔分解与其拟阵分解重合当且仅当 $k_1,\dots,k_l$ 为连续整数,此前这仅在完全旗簇、Grassmann 流形和 $\text{Fl}_{1,3;4}$ 中已知。最后,我们确定了哪些正性概念与旋转指标集的 $n$ 阶循环群的自然作用相容。