梯度流、伴随轨道与全非负旗流形的拓扑

可以将 $\mathbb{C}^n$ 中的偏旗流形视为 $n \times n$ 反埃尔米特矩阵李代数内的伴随轨道 $\mathcal{O}_\lambda$。我们利用轨道语境，从代数、几何和动力学的角度研究偏旗流形的全非负部分。本文包含三个主要部分：(1) 我们引入了 $\mathcal{O}_\lambda$ 的全非负部分，并在几种情况下对其进行了显式描述。我们在其上定义了一个扭转映射，该映射在 $A$ 型下推广了 Bloch, Flaschka 和 Ratiu (1990) 在 Jacobi 矩阵等谱流形上的映射。(2) 我们研究了 $\mathcal{O}_\lambda$ 上保持正性的梯度流，并在三种自然黎曼度量下进行工作。在 Kähler 度量下，在许多感兴趣的情形中正性均得以保持，推广了 Galashin, Karp 和 Lam (2017, 2019) 的结果。在法向度量下，正性在一般轨道上几乎从不被保持。在诱导度量下，正性是否被保持似乎取决于定义该轨道的特征值的间距。(3) 我们给出了两个应用。首先，我们讨论了全非负旗流形与幅面体的拓扑。Galashin, Karp 和 Lam (2017, 2019) 证明了前者同胚于闭球，我们在轨道框架下解释了他们的论证。我们还证明了一族新的幅面体（我们称之为扭转范德蒙德幅面体）同胚于闭球。其次，我们讨论了 $\mathcal{O}_\lambda$ 上的对称 Toda 流。我们证明了它保持正性，并且在全非负部分上，它是应用扭转映射前 Kähler 度量下的梯度流。这推广了 Bloch, Flaschka 和 Ratiu (1990) 的结果。