Wronski 映射的普适 Plücker 坐标与实 Schubert 演算中的正性

给定一个 $d$ 维多项式向量空间 $V \subset \mathbb{C}[u]$，其 Wronskian 是多项式 $(u + z_1) \cdots (u + z_n)$，其零点 $-z_i$ 是 $\mathbb{C}$ 中使得 $V$ 包含一个在 $-z_i$ 处至少有 $d$ 阶零点的非零多项式的点。等价地，$V$ 是由在 $z_1, \dots, z_n$ 处与矩曲线密切的平面所定义的 Schubert 问题的解。逆 Wronski 问题涉及寻找所有具有给定 Wronskian $(u + z_1) \cdots (u + z_n)$ 的 $V$。我们通过给出一般解 $V$ 的 Grassmann-Pl"ucker 坐标的显式公式来解决此问题，这些公式作为对称群群代数 $\mathbb{C}[\mathfrak{S}_n]$ 中的交换算子。在 $\mathbb{C}$ 上各个解的 Pl"ucker 坐标通过限制到特征子空间并将每个算子替换为其特征值得到。这推广了 Mukhin、Tarasov 和 Varchenko（2013）以及 Purbhoo（2022）的工作，他们给出了 $V$ 所满足微分方程在 $\mathbb{C}[\mathfrak{S}_n]$ 中的公式。此外，若 $z_1, \dots, z_n$ 为实且非负，则我们的算子为半正定，意味着 $V$ 的 Pl"ucker 坐标全为实且非负。这验证了实 Schubert 演算中若干悬而未决的猜想，包括 Mukhin 和 Tarasov（2017）以及 Karp（2021）的正性猜想、Eremenko（2015）的离散共轭猜想，以及 Sottile（2003）的割线猜想的除子形式。证明涉及 $\mathfrak{S}_n$ 的表示论、对称函数以及 KP 层级的 $\tau$-函数。