KP 孤子与 Grassmann 流形的全正性

自 1970 年 Kadomtsev 和 Petviashvili 提出如今称为 KP 方程的二维修正色散波方程以来，KP 方程的孤子解便一直得到研究。众所周知，可以利用 Wronski 方法从实 Grassmann 流形 Gr_kn 的每一点构造 KP 方程的一个孤子解。最近，多位作者研究了由此得到的正则解：它们来自 Grassmann 流形的全非负部分 (Gr_kn)_{>= 0}。本文揭示了 Grassmann 流形的全正性理论与 KP 方程正则孤子解结构之间一个令人惊讶的联系。通过利用这一联系，我们获得了对 KP 孤子结构的新见解，以及对索引 (Gr_kn)_{>= 0} 胞腔的组合对象的新诠释。特别地，我们完全分类了来自 (Gr_2n)_{>0} 的孤子解的空间模式，以及当时间参数绝对值充分大时来自 (Gr_kn)_{>= 0} 的孤子解的空间模式。我们还证明了 (Gr_kn)_{>0} 的孤子图与 Fomin 和 Zelevinsky 的簇代数之间一个有趣的联系，并利用这一联系求解了来自 (Gr_kn)_{>0} 的一般 KP 孤子的逆问题。最后，我们利用 n 边形的三角剖分构造了 (Gr_2n)_{>0} 的所有孤子图。