实对合代数的非线性完全正映射与扩张理论

实半范对合代数是装备了对合反自同构 $*$ 和满足 $p(a^*) =p(a)$（其中 $a\in {\mathcal A}$）的次可乘半范 $p$ 的实结合代数 ${\mathcal A}$。此时 ${\mathop{\tt ball}\nolimits}({\mathcal A},p) := \{a \in {\mathcal A} \colon p(a) < 1\}$ 是一个对合子半群。对于 ${\mathcal A}$ 为单位代数的情形，我们的主要结果断言：函数 $\phi \colon{\mathop{\tt ball}\nolimits}({\mathcal A},p) \to B(V)$（其中 $V$ 为 Hilbert 空间）是完全正的（适当定义下），当且仅当对于使 ${\mathop{\tt ball}\nolimits}({\mathcal A},p)$ 为开集的任意局部凸拓扑，该函数是正定且解析的。若 $\eta_{\mathcal A} \colon {\mathcal A} \to C^*({\mathcal A},p)$ 是 $({\mathcal A},p)$ 的包络 $C^*$-代数，且 $e^{C^*({\mathcal A},p)}$ 是对称张量幂 $S^n(C^*({\mathcal A},p))$ 的 $c_0$-直和，则上述两个性质等价于存在分解 $\phi = \Phi \circ \Gamma$，其中 $\Phi \colon e^{C^*({\mathcal A},p)} \to B(V)$ 是线性完全正的，且 $\Gamma(a) = \sum_{n = 0}^\infty \eta_{\mathcal A}(a)^{\otimes n}$。我们还得到了适用于非单位代数的适当推广。该结果的一个重要推论是：利用 $C^*$-代数 $e^{C^*({\mathcal A},p)}$ 的表示，描述了 ${\rm U}({\mathcal A})$ 的酉表示及其到 ${\mathop{\tt ball}\nolimits}({\mathcal A},p)$ 的有界解析延拓。