算子代数的完全有界同构与到完全等距的相似性

Paulsen 的一个著名定理指出，如果 $\mathcal{A}$ 是一个含幺算子代数，且 $\phi:\mathcal{A}\to B(\mathcal{H})$ 是一个含幺完全有界同态，那么 $\phi$ 相似于一个完全压缩映射 $\phi'$。受希尔伯特空间压缩算子分类问题的启发，我们关注当映射 $\phi$ 具有完全有界逆时，如何使逆映射 $\phi'^{-1}$ 也是完全压缩的。我们证明了存在可逆算子 $X$ 和 $Y$，使得映射 $$XaX^{-1}\mapsto Y\phi(a)Y^{-1}$$ 是完全压缩的，并且在任何给定的来自 $\mathcal{A}$ 且具有非零谱的有限元素集上“几乎”是等距的。虽然该映射通常不能取为完全等距，但我们表明，如果 $\mathcal{A}$ 完全有界同构于 $C^*$-代数或一致代数，则可以实现这一点。对于 $H^\infty$ 的商代数情形，我们将这些条件转化为函数论术语，并将其与经典的 Carleson 条件联系起来。