到某些 Hilbert 型算子空间的完全有界映射

我们证明从 $C^*$-代数 $A$（或精确算子空间 $E\subset A$）到装备有由列与行 Hilbert 空间之间复插值得到的 $(C,R)_\theta$（$0<\theta<1$）算子空间结构的 $\ell_2$ 的完全有界映射的一个分解。更确切地说，若 $F$ 表示装备有 $(C,R)_\theta$ 算子空间结构的 $\ell_2$，则 $u: A \to F$ 是完全有界的当且仅当存在 $A$ 上的态 $f,g$ 和 $C>0$ 使得 $$\forall a\in A\quad \|ua\|^2\le C f(a^*a)^{1-\theta}g(aa^*)^{\theta}.$$ 这推广了最近与 Shlyakhtenko 合作的论文中所处理的 $\theta=1/2$ 情形。我们得到的常数在 $\theta \to 0$ 或 $\theta\to 1$ 时趋于 1。我们使用非半有限 von Neumann 代数中的“自由高斯”族的类似物。作为一个应用，我们得到：若 $0<\theta<1$，则 $(C,R)_\theta$ 不能完全同构地嵌入到半有限 von Neumann 代数的预对偶中。此外，我们刻画了满足其对偶算子空间 $S^*$ 能（完全同构地）嵌入到某个半有限 von Neumann 代数 $M$ 的 $M_*$ 中的子空间 $S\subset R\oplus C$：仅有的可能性是 $S=R$、$S=C$、$S=R\cap C$ 以及由这三种空间构造的直接和。我们还讨论了 $S\subset R\oplus C$ 何时是单射的，并给出了 Oikhberg 关于此问题之结果的一个更简单的证明。在附录中，我们给出了 Junge 的定理（即 $OH$ 完全同构地嵌入到非交换 $L_1$-空间中）的一个证明。主要思想与 Junge 的相似，但我们将论证建立在复插值与 Shlyakhtenko 的广义圆周系（或“广义自由高斯”）之上，这在某种程度上将 Junge 的思想与我们同 Shlyakhtenko 的工作之思想统一起来。