算子空间上的 Grothendieck 定理

当 E 和 F 为算子空间时，我们证明 Grothendieck 定理关于完全有界线性映射 $T\colon E \to F^*$ 的几个版本。我们证明若 E、F 为 $C^*$-代数，其中至少一个精确，则每个完全有界映射 $T\colon E \to F^*$ 可经行与列 Hilbert 算子空间的直接和分解。等价地，T 可分解为 $T=T_r+T_c$，其中 $T_r$（相应 $T_c$）完全有界地经行（相应列）Hilbert 算子空间分解。这正面地（至少部分地）解决了 Effros-Ruan 与 Blecher 先前关于 $C^*$-代数上完全有界双线性形式分解的某些猜想。此外，我们的结果更一般地对任意一对“精确”算子空间 E、F 成立。这给出从 $C^*$-代数（或精确算子空间）到算子 Hilbert 空间 OH 的完全有界映射的一个刻画。作为推论，我们证明至多一个完全同构下，行与列 Hilbert 算子空间及其直接和是仅有的使得 E 与其对偶 $E^*$ 均精确的算子空间 E。我们还刻画了从紧算子空间到迹类空间完全有界的 Schur 乘子。