关于绝对求和多线性算子的 Grothendieck 定理是最优的

Grothendieck 定理断言，从 $\ell_{1}$ 到 $\ell_{2}$ 的每个连续线性算子都是绝对 $\left( 1;1\right)$-求和的。在本注记中，我们证明了使得每个从 $\ell_{1}\times\cdots\times\ell_{1}$ 到 $\ell_{2}$ 的连续 $m$-线性算子均为绝对 $\left( g_{m};1\right)$-求和的最优常数 $g_{m}$ 为 $\frac{2}{m+1}$。我们还表明，如果 $g_{m}<\frac{2}{m+1}$，则存在一个 $\mathfrak{c}$ 维线性空间，由从 $\ell_{1}\times\cdots\times\ell_{1}$ 到 $\ell_{2}$ 的连续非绝对 $\left( g_{m};1\right)$-求和 $m$-线性算子组成。特别是，我们的结果正面解决了 A.T. Bernardino 于 2011 年提出的一个猜想。