随机复代数超曲面的收缩量与拉格朗日子流形

设 $n\geq 1$ 为整数，$\mathcal L \subset \mathbb{R}^n$ 为紧致光滑仿射实超曲面，不必连通。我们证明存在 $c>0$ 和 $d_0\geq 1$，使得对任意 $d\geq d_0$，$\mathbb{C} P^n$ 中任意度数为 $d$ 的光滑复射影超曲面 $Z$ 至少包含 $c\dim H_*(Z, \mathbb{R})$ 个微分同胚于 $\mathcal L$ 的不交拉格朗日子流形，其中 $Z$ 配备由 Fubini-Study 辛形式限制得到的辛结构。若进一步 $\mathcal L$ 的连通分支具有非零欧拉示性数（这意味着 $n$ 为奇数），则上述拉格朗日子流形构成 $H_{n-1}(Z, \mathbb{R})$ 的一个独立族。我们受 J.-Y. Welschinger 与作者关于随机实代数几何的一个结果启发，采用概率论证并结合定量的 Moser 型构造来完成证明。对于 $n=2$，该方法为给定度数的 $\mathbb{C} P^2$ 中配备环境度量限制的复射影曲线具有小尺寸收缩量的概率提供了一个一致的正下界，这类似于 M. Mirzakhani 对双曲曲线给出的相应下界。我们的结果在更一般的框架下成立，即射影复 $n$ 维流形上秩介于 1 和 $n$ 之间的向量丛与充足线丛的大幂次张量积的全纯截面消失轨迹。