具有多个指定分支的实代数超曲面的存在性

给定一个维数为 $n$ 的实代数簇 $X$、其上的甚丰富除子 $D$ 以及 $\mathbf{R}^n$ 中的一个光滑闭超曲面 $\Sigma$,我们在线性系 $|mD|$ 中构造实代数超曲面,其实点集包含许多同胚于 $\Sigma$ 的连通分支。作为推论,我们证明了线性系 $|mD|$ 中存在实代数超曲面,其 Betti 数随 $m$ 趋于无穷而以最大阶增长。作为另一应用,我们重新得到了 D. Gayet 关于在 $\mathbf{C}\mathbf{P}^n$ 的任意光滑复超曲面中存在许多具有指定拓扑的互不相交拉格朗日子流形的结果。本文的结果对完全交情形得到了更一般的证明。我们主要结果的证明使用了概率工具。