关于Dvoretzky–Rogers引理中的体积界

经典的Dvoretzky–Rogers引理提供了一种确定性算法，由此可从欧氏$d$空间中的任意各向同性向量集合中选出$d$个向量组成的子集，其行列式不太小。随后，Pelczyński和Szarek将该下界改进了一个依赖于维数与向量数的因子。另一方面，Pivovarov确定了$\mathbb{R}^d$中由$d$个独立随机向量（每个根据各向同性测度选取）所张成的平行多面体的体积平方的期望。我们将Pivovarov的结果推广到一类更一般的概率测度，由此得出Dvoretzky–Rogers引理中的体积界实际上等于由各向同性向量张成的随机平行多面体体积平方的期望。这使我们能够给出Pelczyński和Szarek改进的 probabilistic 证明，并给出此类随机平行多面体体积较大的概率的下界。