Kostka 多面体体积的确定性近似算法

多项式时间内对多面体体积进行确定性近似——近似因子最多为随维度子指数级增长——仍是开放问题。最近的工作聚焦于识别可获得此类近似算法的有趣多面体类别。本文聚焦于其中一种类多面体：Kostka 多面体。Kostka 多面体的体积在随机矩阵论的问答中自然出现，旨在评估具有固定谱 $\lambda$ 的随机厄米矩阵具有给定对角 $\mu$ 的概率密度（即随机 Schur-Horn 问题）：对应的 Kostka 多面体记为 $\mathrm{GT}(\lambda, \mu)$。我们给出一种多项式时间确定性算法，用于近似具有 $\Omega(n^2)$ 维数的 Kostka 多面体 $\mathrm{GT}(\lambda, \mu)$ 的体积，其误差为 $\exp(O(n\log n))$ 级乘性因子，当 $\lambda$ 为 $n$ 部分的整数分区，其条目上界为 $n$ 的多项式函数，且 $\mu$ 为位于 $\lambda$ 的permutohedron（即所有置换的凸包）内部的整数向量时。该算法因此为对应此类 $(\lambda, \mu)$ 的 Kostka 多面体提供渐近正确的 log 体积估计。我们的 method 基于对 Schur 多项式连续类比的分区函数解释。