几何不变性理论与拉伸 Kostka 准多项式

对于 G 为半单、simply-connected 复代数群，给定两个dominant 整数权 $\lambda, \mu$，我们考虑权空间 $V_\lambda(\mu)$ 中权 $\mu$ 的维数，即不可约、有限维最高权 $\lambda$ 表示中的权 $\mu$。对于自然数 $N$，函数 $N \mapsto \dim V_{N\lambda}(N\mu)$ 是 $N$ 的准多项式，称为拉伸 Kostka 准多项式。通过几何不变性理论（GIT）的方法，我们将该准多项式的次数实现为某个 GIT 商的维数。结果，我们解决了 Gao 和 Gao 对该次数的显式公式猜想。我们还讨论了由 GIT 方法确定的该准多项式的周期，并给出计算证据支持其由几何方式确定的最小周期。