单色波节点长度的小尺度中心极限定理

我们考虑与无共轭点的黎曼曲面 $(\mathcal M,g)$ 相关联的参数 $\lambda>0$ 的{\it 高斯拉回单色随机波}限制到半径为 $r_\lambda$ 的球上的节点长度 $L(\lambda)$。我们的主要结果是，若 $r_\lambda$ 的增长慢于 $(\log \lambda)^{1/25}$，则（当 $\lambda\to \infty$ 时）长度 $L(\lambda)$ 验证了一个中心极限定理，其标度与 Berry 随机波模型相同——如 Nourdin、Peccati 和 Rossi（2019）所建立。利用 Keeler（2019）对 B\'erard（1986）估计的某些有力推广，我们的技术主要基于一个关于光滑高斯场耦合的新颖内蕴界，该界具有独立意义，并且使我们能够改进 Canzani 和 Hanin（2016）中拉回随机波节点长度渐近方差的一些估计。为展示我们方法的灵活性，我们还给出了一个关于 $2$-环面上收缩球上算术随机波节点长度的相变的应用。