单色随机波零点与临界点的局部普适性

本文关注紧致光滑黎曼流形 $(M,g)$ 上频率为 $\lambda$ 的单色随机波 $\phi_\lambda$ 的零点与临界点在 $\lambda \rightarrow \infty$ 时的渐近行为。我们证明，限制在半径 $\approx \lambda^{-1}$ 的球上，$\phi_\lambda$ 零点集上的积分测度依分布收敛到 $\mathbb R^n$ 上频率为 $1$ 的随机波零点集上的积分测度，其中 $n$ 是 $M$ 的维数。我们还证明了 $\phi_\lambda$ 临界点计数测度的有限矩（同样限制在半径 $\approx \lambda^{-1}$ 的球上）收敛到频率为 $1$ 的随机波相应矩。然后我们将这些局部结果拼接起来，得到关于 $M$ 上整个 $\phi_\lambda$ 零点集体积和临界点数量的新全局方差估计。我们的局部结果在关于 $M$ 上测地线结构的条件下成立，这些条件在 $M$ 上所有度量的空间中是泛化的；而我们的全局结果在 $(M,g)$ 无共轭点（例如负曲率）时成立。