非同分布单色随机波 nodal 分量的渐近性

我们研究了 $\mathbb{R}^n$ 上由方差趋于足够快零的高斯变量定义的单色随机波。其效果是单色波的傅里叶变换成为球面上具有适当光滑密度的绝对连续测度，从而将问题与单色波的散射 regime 联系起来。在此设定下，我们计算了随机单色波 nodal 分量的渐近分布，表明包含在大型球 $B_R$ 中的 nodal 分量数目以概率 $p_n>0$ 渐近地像 $R/\pi$ 一样增长，并以概率 $1-p_n$（当且仅当 $n \geq 3$ 时为正）关于 $R$ 一致有界。在后一种情形中，我们证明存在唯一的不可紧 nodal 分量。我们还提供了一个显式的充分稳定性判据，以判定更一般的高斯概率分布何时具有相同的渐近 nodal 分布律。