非解析随机周期信号零点的局部普适性

本文研究形如 $S_n(t)=\sum_{k=1}^n a_k f(k t)$ 的随机周期信号零点个数的局部普适性，其中 $f$ 是满足弱正则性条件的 $2\pi$ 周期函数，系数 $a_k$ 是独立同分布、中心化且具有单位方差的随机变量。特别地，我们的结果对连续分段线性函数成立。我们证明，在长度为 $1/n$ 的收缩区间内，$S_n(t)$ 的零点个数随着 $n$ 趋于无穷依分布收敛于某个高斯过程的零点个数，该高斯过程的显式协方差仅依赖于函数 $f$，而与随机系数 $(a_k)$ 的共同分布无关。作为附带结果，这意味着 $S_n(t)$ 的零点计数测度在赋予模糊拓扑的 $\mathbb R$ 上局部有限计数测度空间中依分布收敛于一个显式极限。建立此类普适性结果通常需要借助 $f$ 的正则性甚至解析性，本文则代之以 [CCK17] 中最近得到的高维 Berry-Esseen 界。后者使我们能够在因缺乏正则性而无法应用通常准则的情形下，证明 $C^1$ 拓扑下的泛函中心极限定理。