Kac 多项式根部局部普适性的一个简单证明

设 $f_n$ 为一个阶为 $n$ 的随机多项式，系数为独立同分布的均为 0、方差有限的随机变量。众所周知，$f_n$ 的根随着 $n$ 的增大在单位圆周围均匀聚集。我们给出一个简单且自包含的证明，证明 $f_n$ 在固定圆周点处尺度为 $1/n$ 的微观尺度上根的相关函数的局部普适性。虽然之前的局部普适性证明侧重于研究 $f_n$ 的对数势，但我们直接将缩放后的随机多项式与限制性高斯解析函数进行比较，通过软性方法建立相关性收敛，仅使用基本复分析和 Esseen 的反集中度引理。