随机多项式重复导数的零点

已证明在某些假设下，次数为 $n$ 的 Kac 多项式 $K_n(z)$ 的零点当 $n\to\infty$ 时渐近聚集在单位圆附近。该性质对任意固定阶数 $l$ 的 Kac 多项式导数 $K^{(l)}_n(z)$ 保持不变。因此研究我们所取导数个数依赖于 $n$ 的情形，即 $l=N_n$，是自然的。我们将证明 $K_n^{(N_n)}(z)$ 零点的极限全局行为依赖于比值 $N_n/n$ 的极限。特别地，我们证明当该比值的极限严格为正时，围绕单位圆的均匀聚集性质失效；当比值接近于 1 时，零点出现某种重标度现象。然后我们针对具有更一般系数的随机多项式研究此类问题。但对于一般情形当 $N_n/n\to 1$ 时，事情尤其是重标度现象变得非常复杂，我们计算随机椭圆多项式的情形以说明这一点。