辛流形上零点的普适性与标度律

本文研究随机全纯多项式及其在代数与辛几何中的推广。我们先前工作中研究的一种自然代数几何推广,涉及任意复流形上任意正线丛 $L \to M$ 的幂 $H^0(M,L^N)$ 的随机全纯截面。我们的主要兴趣在于当 $N\to\infty$ 时, $k$ 个独立的 $N$ 次截面(广义多项式)的零点统计。我们固定一点 $P$ 并聚焦于关于 $P$ 的半径为 $1/\sqrt{N}$ 的球。在将球放大 $\sqrt{N}$ 倍的显微镜下,随机 $k$ 元组截面的同时零点构型的统计趋于一个与 $P,M,L$ 无关的普适极限。我们回顾了这一结果,并将其进一步推广到几乎复辛流形 $(M,J,\omega)$ 上的预量子线丛情形。遵循 [SZ2],我们在复情形中用 Boutet de Monvel-Guillemin 以及(从另一观点)Donaldson 和 Auroux 所定义的“渐近全纯”截面取代 $H^0(M,L^N)$。利用零点关联的 Kac-Rice 公式向 $m$ 维情形的推广以及 [SZ2] 的结果,我们证明了随机 $k$ 元组渐近全纯截面零点的关联函数的标度极限属于与复情形相同的普适类。