Kac 多项式在单位圆附近的无根邻域

在本文中，我们研究当 Kac 多项式 $W_n(z) = \sum_{k=0}^{n-1} \xi_k z^k$ 的系数为独立同分布的非退化实随机变量时，其根如何聚集到单位圆上。众所周知，Kac 多项式的根在 $n\to\infty$ 时聚集于单位圆当且仅当 $\mathbb{E}[\log( 1+ |\xi_0|)]<\infty$。在 $\mathbb{E}[\xi^2_0]<\infty$ 的条件下，我们证明在单位圆周围存在一个宽度为 $\mathrm{O}(n^{-2}(\log n)^{-3})$ 的环域，该环域以概率 $1-\mathrm{O}({(\log n)^{-{1}/{2}}})$ 不含根。证明依赖于所谓的小球概率不等式与最小公分母。