面向局部次高斯随机变量、随机三角多项式及随机循环矩阵的Salem-Zygmund不等式

在本稿件中，我们给出了经典Salem–Zygmund不等式对于局部次高斯随机变量的一个推广。作为一个应用，我们研究了Kac多项式根的集中性，这是本稿件的主要贡献。更确切地说，我们假设Kac多项式的独立同分布随机系数存在矩生成函数，并证明在单位圆附近存在一个宽度为$$O(n^{-2}(\log n)^{-1/2-\gamma}), \quad \gamma>1/2$$的环域，以高概率不包含根。作为另一个应用，我们证明随机循环矩阵的最小奇异值至少为$n^{-\rho}$，$\rho\in(0,1/4)$，其概率为$1-O(n^{-2\rho})$。