强隔离奇点的非持久性及其几何应用

我们获得了关于具有强隔离奇点的 stationary integral $n$-varifolds 在 $N$ 维黎曼流形中的普遍正则性结果，且不对维数（$n\geq 2$）和余维施加任何限制。作为一个特例，我们证明了对于任意 $n\geq 2$ 和任意紧致的 $(n+1)$ 维流形 $M$，以下情况成立：对于普遍选择的背景度量 $g$，$(M,g)$ 中的所有 stationary integral $n$-varifolds 要么完全光滑，要么至少有一个奇点不是强隔离的。换句话说，只有“更复杂”的奇点才可能持久存在。这意味着，例如，在接近圆形的四维球中，面积至少为 $4\pi^2-\varepsilon$（对于任意 $\varepsilon>0$）的所有闭式最小超曲面类的普遍有限性结果：我们因此能给出对 Clifford football 和 Hsiang 超球在接近圆形度量中的持久性问题的明确答案。所述主要正则性结果是通过对此类 varifolds 的 Jacobi 算子 Fredholm 指数的细致分析获得的：我们一方面证明了该数字与奇点锥形链处 Morse 指数的确切关系，另一方面我们展示了在背景度量为普遍时，该数字对所有此类 varifolds 都是非负的。