具有公共自由边界的极小超曲面的正则性

设 $N$ 为一个黎曼流形，考虑 $N$ 中三个或更多个具有公共边界 $\Gamma$ 的 $C^{1,\mu}$ 带边界超曲面 $M_k$ 的平稳并集。我们证明，如果 $N$ 是光滑的，则 $\Gamma$ 是光滑的，且每个 $M_k$ 直至 $\Gamma$ 都是光滑的（在 $N$ 为实解析的情况下为实解析）。因此，我们加强了 Wickramasekera 的结果，得出结论：在更强的假设下，即 $V$ 是 $(n+1)$ 维光滑（实解析）黎曼流形中的一个平稳、稳定、整 $n$-重向量，且 $\|V\|$ 的支集在任何局部都不是三个或更多个沿公共边界相遇的光滑（实解析）带边界超曲面的并集，那么当 $n = 6$ 时，$V$ 的奇异集为空；当 $n = 7$ 时，奇异集是离散的；当 $n \geq 8$ 时，其 Hausdorff 维数至多为 $n-7$。