余维1的稳定预设平均曲率积分varifold：正则性与紧性

在先前的一篇论文中，我们针对满足两个（必要的）结构条件的余维1弱稳定CMC积分varifold，在欧氏背景空间中发展了正则性与紧性理论。在此我们将该理论推广到如下情形：varifold（的正则部分）的平均曲率由给定的$C^{1, \alpha}$背景函数$g$预设，且背景空间为一般的$(n+1)$维Riemann流形；我们给出一般条件，这些条件意味着varifold的支撑集在可能维数$\leq n-7$的奇异集之外，是具连续单位法向量$\nu$和平均曲率$g\nu$的$C^{2}$浸入的像。这些条件还确定了一类受附加一致质量界约束的紧varifold。若$g$处处不为零，或更一般地若集合$\{g=0\}$充分小（例如若${\mathcal H}^{n}\,(\{g=0\})=0$），则结果及其证明与CMC情形十分相似。然而当$g$任意时，必须考虑若干额外因素：首先，正确的二阶变分假设是有限Morse指数（而非弱稳定性）；其次，为得到具有紧性结论的几何上有用的理论，关于varifold的两个结构条件之一必须弱化；第三，鉴于简单的例子，结构假设的这种弱化需要附加假设才能达到相同结论。我们确定了两组附加假设，在其下该结论对一般$g$成立：其中一组给出正则性与紧性，另一组给出正则性并适用于某些相变问题。我们还给出了与Caccioppoli集的约化边界相关联的重数$1$ varifold的推论。在这些情形中，部分或全部结构假设变得冗余。