关于近矩形域上 1-Laplacian 比值割的行为

给定连通集 $\Omega_0 \subset \mathbb{R}^2$，定义集合序列 $(\Omega_n)_{n=0}^{\infty}$，其中 $\Omega_{n+1}$ 是 $\Omega_n$ 中（适当归一化的）Neumann $p-$Laplacian $-\Delta^{(p)} \phi = \lambda_1 |\phi|^{p-2} \phi$ 的第一特征函数取正（或负）的子集。对于 $p=1$，这也被称为该域的比值割（Ratio Cut）。我们猜想，除非 $\Omega_0$ 是等腰直角三角形，否则只要这些集合与边界 $\partial \Omega_0$ 有某一距离，它们就在 Gromov-Hausdorff 距离下收敛到偏心率以 2 为界的矩形集合。我们对 $p=1$ 建立了该猜想的若干方面，证明（1）充分接近给定长宽比矩形的域的 1-Laplacian 谱割是一段比原域更接近平坦的圆弧（最终导向四边形），且（2）接近长宽比为 $2$ 的矩形的四边形保持接近四边形，并在适当度量下更接近矩形。我们还讨论了一些数值方面并提出了许多开放问题。