随机多项式双纽线连通分支数目的研究

复多项式 $Q_n$（次数为 $n$）的双纽线是其模的子水平集，即形如 $\{z \in \mathbb{C}: |Q_n(z)| < t\}$（$t>0$）的集合。一般而言，该双纽线的连通分支数目可在 1 到 $n$ 之间任意变化。本文研究两种随机双纽线模型的连通分支期望数目。首先，我们证明定义多项式的根独立同分布且均匀取自 $\mathbb{D}$ 的双纽线，其连通分支平均数目为 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$。另一方面，若独立同分布的根均匀取自 $\mathbb{S}^1$，我们证明连通分支期望数目除以 n 后收敛于 $\frac{1}{2}$。