本征函数的局部化 $L^p$ 估计：关于 Hezari 与 Rivi\`ere 文章的一个注记

我们利用Hezari与Rivi\`ere~\cite{HR}近期论证的一个直接变体，得到对所有大于等于临界指数 $p_c=\tfrac{2(n+1)}{n-1}$ 的指数的局部化 $L^p$ 估计。我们仅通过使用早期工作\cite{Seig}中谱投影算子的 $L^{p}$ 界即可直接做到这一点。例如，我们在此获得的局部化界意味着：对于测地流为遍历的流形上密度为1的特征值序列，相应本征函数的所有 $L^p$（$2<p\le \infty$）界相对于\cite{Seig}中的一般界都较小，而后者在圆球面上达到饱和。与量子遍历性的联系由作者\cite{SK}以及Blair与作者\cite{BS2}的近期结果对指数 $2<p<p_c$ 建立；然而，Hezari与Rivi\`ere~\cite{HR}的文章首次对临界指数 $p_c$（在负曲率流形情形）建立了此联系。正如众所知且我们在此指出，临界指数 $p_c$ 的界蕴含了所有其他指数 $2<p\le \infty$ 的界。局部化估计涉及半径为 $r$ 的小测地球 $B_r$ 上的 $L^2$ 范数，我们将审视球面和具有非正曲率的流形上某些模型情形中这些量的行为。我们还将提出一个问题：何时能改进这些 $L^2(B_r)$ 界的平凡 $O(r^{\frac12})$ 估计。若 $r=\lambda^{-1}$，则只要拥有改进的 $L^{p_c}(M)$ 界，仅用H\"older不等式即可改进平凡估计；然而，对 $r\gg \lambda^{-1}$ 获得改进界似乎很微妙。