关于 Toponogov 定理与特征函数估计的对数改进

我们利用黎曼几何中的 Toponogov 三角比较定理，以及经典奇性传播论证的定量尺度导向变体，获得了 \cite{SKN} 中引入的、针对非正截面曲率流形的 Kakeya-Nikodym 范数的对数改进。利用这些以及我们论文 \cite{BS15} 的结果，我们能够获得此类流形 $L^p(M)$ 估计的对数改进，当 $2<p<\tfrac{2(n+1)}{n-1}$。这转而蕴含第二作者与 Zelditch~\cite{SZ11} 估计的特征函数 $L^1$ 范数下界的 $(\log\lambda)^{\sigma_n}$, $\sigma_n\approx n$ 改进；并且利用 Hezari 与第二作者~\cite{HS} 的结果，在此曲率假设下，若 $n\ge3$，我们能够将 Colding 与 Minicozzi~\cite{CM} 节点集大小的下界改进一个 $(\log \lambda)^{\mu}$ 因子，对任意 $\mu<\tfrac{2(n+1)^2}{n-1}$。