环面本征函数在全测地子流形上的限制

我们估计了标准平坦环面 $\mathbb{T}^d$（$d\ge2$）上 Laplace-Beltrami 算符本征函数限制到全测地子流形上的 $L^2$ 范数。我们将获得正确界归约为计数球面上某些 $\nu$-横向带交集中的格点。此外，我们证明了任意余维数的有理全测地子流形的正确界。特别地，我们验证了 Bourgain-Rudnick 关于有理超平面 $L^2$-限制估计的猜想。在 $\mathbb{T}^2$ 上，我们证明了闭测地线的均匀 $L^2$ 限制界。在 $\mathbb{T}^3$ 上，我们获得了全测地子流形的显式 $L^2$ 限制估计，改进了 Burq-G\'erard-Tzvetkov、Hu、Chen-Sogge 的相应结果。