曲线上特征函数的内积与紧致黎曼曲面的广义周期

我们证明，对于无边界紧致黎曼曲面上的光滑闭曲线 $\gamma$，限制于 $\gamma$ 上的两个特征函数 $e_\lambda$ 与 $e_\mu$ 的内积 $|\int e_\lambda\overline{e_\mu}\,ds|$ 被 $\min\{\lambda^\frac12,\mu^\frac12\}$ 所界。进一步，给定 $0<c<1$，若 $0<\mu<c\lambda$，我们证明 $\int e_\lambda\overline{e_\mu}\,ds=O(\mu^\frac14)$，该估计在球面 $S^2$ 上是尖锐的。这些界以显式方式统一了周期积分估计与 $L^2$-限制估计。利用类似论证，我们还证明若 $0<\nu<c\lambda$，则 $e_\lambda$ 沿 $\gamma$ 的第 $\nu$ 阶傅里叶系数一致有界，这推广了 Reznikov 关于紧致双曲曲面的结果，并且在 $S^2$ 与平环面 $\mathbb T^2$ 上均为尖锐。此外，我们证明我们结果的类比在高维中对于超曲面上特征函数的内积也成立。