关于带边黎曼曲面的 Dirichlet-to-Neumann 映射的刻画

设 $(M,g)$ 为光滑紧致可定向二维黎曼流形（即曲面），具有光滑度量张量 $g$ 与光滑连通边界 $\Gamma$。其 DN-映射 $\Lambda_g:{C^\infty}(\Gamma)\to{C^\infty}(\Gamma)$ 关联于（前向）椭圆问题 $\Delta_gu=0 \,\,\, {\rm in}\,\,M\setminus\Gamma,\,\,u=f \,\,\, {\rm on}\,\,\,\Gamma$，并作用为 $\Lambda_g f:=\partial_\nu u^f \,\,\, {\rm on}\,\,\,\Gamma,$ 其中 $\Delta_g$ 为 Beltrami-Laplace 算子，$u=u^f(x)$ 为解，$\nu$ 为 $\Gamma$ 的外法向。相应的反问题是由其 DN-映射 $\Lambda_g$ 确定曲面 $(M,g)$。我们给出了作用于 ${C^\infty}(\Gamma)$ 上的算子成为某曲面的 DN-映射的充要条件。与 G.Henkin 和 V.Michel 基于多维复分析的已知条件不同，我们的条件基于该反问题与交换 Banach 代数的联系。