不变微分形式上的广义Dirichlet-to-Neumann算子与等变上同调

在近期的一篇论文中，Belishev和Sharafutdinov考虑了带边界$\partial M$的紧致黎曼流形$M$。他们在边界上的所有形式定义了一个广义Dirichlet-to-Neumann (DN)算子$\Lambda$，并证明了所讨论流形的实加性de Rham上同调结构完全由$\Lambda$决定。这表明DN映射$\Lambda$被列入代数拓扑的研究对象清单。在本文中，我们假设$G$是一个通过等距作用在$M$上的环面。给定$G$的李代数中的$X$以及$M$上相应的向量场$X_M$，我们在$M$上的不变形式上定义Witten的非齐次余边界算子$d_{X_M} = d+\iota_{X_M}$。主要目的是根据算子$d_{X_M}$及其伴随算子$\delta_{X_M}$，将Belishev和Sharafutdinov的边界数据适配到不变形式上。换句话说，我们在边界上的不变形式上定义了一个算子$\Lambda_{X_M}$，称之为$X_M$-DN映射，并利用它通过与由我们的边界数据形成的长正合序列的同构，恢复了拓扑对$(M,\partial M)$的长正合$X_M$-上同调序列。然后我们证明，当相应向量场$X_M$的零点集等于$G$-作用的不动点集$F$时，$\Lambda_{X_M}$完全决定了$M$的相对和绝对等变上同调群的自由部分。此外，我们从$\Lambda_{X_M}$部分地确定了$X_M$-上同调群的混合杯积（环结构）。这些结果解释了所讨论流形的等变拓扑在多大程度上由$X_M$-DN映射$\Lambda_{X_M}$决定。最后，我们阐述了$\partial F$上的Belishev-Sharafutdinov边界数据与$\partial M$上的我们的边界数据之间的联系。