带边黎曼流形的庞加莱对偶角

在带边的紧致黎曼流形上，绝对和相对上同调群表现为调和形式的特定子空间。DeTurck 和 Gluck 表明，这些上同调群的具体实现可分解为对应于流形内部和边界的正交子空间。这些内部子空间之间的主角均为锐角，称为庞加莱对偶角。本文确定了由复射影空间和格拉斯曼流形导出的一类有趣带边流形的庞加莱对偶角，为庞加莱对偶角在某种意义上度量流形“接近”闭流形的程度提供了证据。本文还阐明了庞加莱对偶角与微分形式的 Dirichlet-to-Neumann 算子之间的联系，该算子推广了电阻抗层析成像问题中经典的 Dirichlet-to-Neumann 映射。具体而言，庞加莱对偶角本质上是一个相关算子——微分形式的 Hilbert 变换——的特征值。随后利用这一联系部分解决了 Belishev 和 Sharafutdinov 提出的一个问题，即 Dirichlet-to-Neumann 映射是否决定了带边流形上的杯积结构。