等变普通同调与上同调

庞加莱对偶位于流形同调理论的核心。在群作用存在时，众所周知庞加莱对偶在 Bredon 的整数分次等变普通同调中失效。我们在此详细阐述绕过该问题的一种方法，即将等变普通同调扩展为在基本群胚的表示上分次的理论。该理论的若干版本此前已出现于有限群作用的情形，但这是首个对一切紧李群都适用的论述。本工作的第一部分是对 RO(G)-分次普通同调与上同调的详细讨论，汇集分散的结果并填补文献中的空白。特别地，我们给出了变群与积的相关细节，这些似乎未见于他处。我们还讨论了当群为紧李群时普通同调与上同调之间的关系，此时两种理论不被同一谱所表示。其余部分讨论到基本群胚表示上分次的推广，聚焦于那些并非 RO(G)-分次情形简单推广的方面。这些理论可视为定义在参数化空间上，此时表示对象是参数化谱；我们大量使用了 May 与 Sigurdsson 关于参数化谱的基础工作。我们以任意光滑等变流形的庞加莱对偶讨论作结。