广义流形与 Poincaré 对偶复形及拓扑流形的关系

本文的主要目的在于探讨（紧）广义流形与有限 Poincaré 对偶复形（PD 复形）之间的关系。问题在于，任意的广义流形 $X$ 始终是 ENR 空间，但它不一定是复形。此外，有限 PD 复形要求在群环 $\Lambda$ 上满足 Poincaré 对偶（$\Lambda$-复形）。标准同调理论表明 $X$ 是一个 $\mathbb{Z}$-PD 复形。因此，根据 Browder 定理，$X$ 具有 Spivak 法丛，该法丛进而确定了 $X$ 在某欧几里得空间中的映射柱邻域对 $(N,\partial N)$ 的 Thom 类。如果该类诱导出与 $\Lambda$-系数的同构，则 $X$ 满足 $\Lambda$-Poincaré 对偶。遗憾的是，Browder 定理的证明仅给出了 $\mathbb{Z}$-系数的同构。$X$ 与有限复形 $K$ 同伦等价这一事实也并无太大帮助，因为 $K$ 并不自动成为 $\Lambda$-PD 复形。因此，引入 $\Lambda$-PD 结构是很方便的。为了证明它们在 $X$ 上的存在性，我们使用了 $2$-贴片空间的构造以及 Bryant、Ferry、Mio 和 Weinberger 的一些基本结果。由于所有 $\Lambda$-PD 复形的类并不包含所有的广义流形，我们适当地扩大了这一类，然后利用 Gromov-Hausdorff 度量在这个扩大的类中描述（即识别）广义流形。